logika proposisi

LOGIKA PROPOSISI

Logika proposisi = logika matematika = logika deduktif
Pernyataan  suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak sekaligus kedua-duanya.
Benar dan salah merupakan nilai kebenaran suatu pernyataan.
Contoh :
1. Pancasila merupakan dasar negara Republik Indonesia.
 pernyataan yang benar.
2. Astaga, cantiknya gadis itu.
 bukan pernyataan.
3. Tadi pagi terjadi tabrakan bus di Harmoni.
 bukan pernyataan (dapat benar atau salah).
4. Tadi pagi terjadi tabrakan kereta api di Harmoni.
 pernyataan yang salah.
5. Dua adalah bilangan prima dan genap.
 pernyataan yang benar.
6. Empat atau lima adalah bilangan prima.
 pernyataan yang benar.
Catatan :
(i). Tidak termasuk pernyataan adalah :
- kalimat harapan
- kalimat perintah
- kalimat pertanyaan
- kalimat heran
- kalimat ..... walaupun .....
(ii). Pernyataan faktual = pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, misalnya :
- Amir pandai.
- Tadi pagi terjadi tabrakan bus.


(iii). Skema










Compound Statement
 pernyataan gabungan/pernyataan majemuk/pernyataan komposisi, dari pernyataan-pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan penghubung logika TIDAK/BUKAN, DAN, ATAU.
Contoh :
1. 2 + 3 = 5 dan 2 merupakan bilangan prima.
2. Matahari terbit di sebelah timur atau 2 * 3 = 6.
3. Republik Indonesia bukan negara serikat.

Jenis-jenis Pernyataan Majemuk :
1. Negasi (Kalimat ingkar/negatif).
Kalimat ingkar adalah : kalimat yang mengingkari atau menidakkan suatu pernyataan.
Notasi : p
Ketentuan : jika pernyataan p benar, maka tidak p salah, jika p salah, maka tidak p benar.
Jadi nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula.




Truth table.
p p
B S
S B

Diagram Venn.
S : himpunan semesta
P : himpunan nilai benar pernyataan p P : himpunan nilai salah pernyataan p

Contoh :
1. p : 4 + 4 = 10. (salah)
p : a. 4 + 4  10. (benar)
b. Tidak benar bahwa 4 + 4 = 10. (benar)
2. p : Semua mahasiswa berada di dalam ruang kuliah. (benar)
p : a. Ada mahasiswa yang berada tidak di dalam kelas. (salah)
b. Tidak benar semua mahasiswa berada di dalam kelas. (salah)

2. Konjungsi.
 dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “ p dan q”.
Notasi : pq.
Ketentuan : jika p benar dan q benar, maka pq benar.
Dalam bentuk lainnya pq salah.
Truth table.
p q pq
B B B
B S S
S B S
S S S

Diagram Venn.

P : himpunan nilai benar pernyataan p
Q : himpunan nilai benar pernyataan q
Irisan PQ (daerah yang diarsir) adalah himpunan nilai benar pernyataan pq.
Contoh :
p : Guru berdiri di muka kelas. (benar)
q : 2 + 2 = 5. (salah)
pq : Guru berdiri di muka kelas dan 2 + 2 = 5. (salah)

3. Disjungsi.
 dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q”.
Suatu disjungsi “p atau q” dapat dibedakan menjadi 2 macam :
1. Disjungsi inklusif, dinyatakan dengan notasi pq artinya p atau q, atau kedua-duanya.
2. Disjungsi eksklusif, dinyatakan dengan notasi pq artinya p atau q tetapi tidak kedua-duanya.
Ketentuan :
- Suatu disjungsi inklusif salah, hanya jika p dan q keduanya salah . Dalam hal lain disjungsi inklusif adalah benar.
- Suatu disjungsi eksklusif salah , jika p dan q kedua-duanya salah atau kedua-duanya benar.
Truth table (disjungsi inklusif).
p q pq
B B B
B S B
S B B
S S S

Truth table (disjungsi eksklusif).
p q pq
B B S
B S B
S B B
S S S

Diagram Venn Disjungsi Inklusif.
P : himpunan nilai benar pernyataan p
Q : himpunan nilai benr pernyataan q
PQ : himpunan nilai benar pernyataan pq

Diagram Venn Disjungsi Eksklusif.
P : himpunan nilai benar pernyataan p
Q : himpunan nilai benar pernyataan q
PQ : himpunan nilai benar pernyataan pq
Dalam hal ini yang biasa digunakan adalah disjungsi inklusif.
Contoh :
Jika p : “Hari ini hujan” dan q : “Hari ini anginnya kencang”, maka pq berarti : “Hari ini hujan atau tidak benar hari ini anginnya kencang”.

4. Implikasi (Kondisional)
 suatu pernyataan majemuk yang berbentuk “jika p maka q”
Notasi : pq
Dibaca : jika p maka q atau p hanya jika q
p adalah syarat cukup bagi q.
q adalah syarat perlu bagi p
Dalam suatu pernyataan bersyarat pq : p disebut hipotesa
q disebut konklusi
Ketentuan : suatu implikasi mempunyai nilai kebenaran “salah” hanya bila hipotesanya benar dan konklusinya salah.
Truth table.
P q pq
B B B
B S S
S B B
S S B

Diagram Venn
P : himpunan nilai benar pernyataan p
Q : himpunan nilai benar pernyataan q
 pernyataan pq mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan PQ (berarti jika xP, maka x Q .
Contoh :
p : Untuk setiap sudut , berlaku sin2 + cos2 = 1. (benar)
q : Surabaya terletak di propinsi Jawa Timur. (benar)
pq : Jika untuk setiap sudut , berlaku sin2 + cos2 = 1, maka Surabaya terletak di propinsi Jawa Timur. (benar)

5. Biimplikasi (Bikondisional)
 suatu pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”.
Notasi : pq
Dibaca : p ekivalen q.
p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.
Ketentuan : Jika p dan q kedua-duanya benar atau kedua-duanya salah maka pq mempunyai nilai kebenaran benar. Jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan maka pq mempunyai nilai kebenaran salah.


Truth table.
p q pq
B B B
B S S
S B S
S S B

Diagram Venn.
P : himpunan nilai benar pernyataan p
Q : himpunan nilai benar pernyataan q
pq mempunyai nilai-nilai kebenaran yang sama dengan P = Q (P=Q, berarti xP jika dan hanya jika xQ)
Contoh :
p : 80 + 3 > 60. (benar)
q : Paris terletak di Rusia. (salah)
pq : 80 + 3 > 60 jika dan hanya jika Paris terletak di Rusia. (salah)

6. Eksklusif OR
 misalkan p dan q proposisi, maka eksklusif OR dari p dan q adalah proposisi yang benar jika salah satu dari p dan q adalah benar dan salah bila sebaliknya.
Notasi : p  q
Truth table.
p q pq
B B S
B S B
S B B
S S S


Konversi, Inversi, Kontra Positif.
Dari suatu implikasi “pq” yang diketahui, maka pernyataan-pernyataan yang berikut :
1. qp  konversi dari pq
2. pq  inversi dari pq
3. qp  kontra positif (kontra posisi) dari pq
Skema :
A konversi B

inversi kontra positif inversi

C konversi D


Dari skema terlihat bahwa :
A dan B saling konversi. C dan D saling konversi.
A dan C saling inversi. B dan D saling inversi.
A dan D saling kontra positif . B dan C saling kontra positif.
Truth table.
p q pq qp pq qp
B B B B B B
B S S B B S
S B B S S B
S S B B B B


Dari truth table terlihat bahwa :
1. pq ekivalen dengan qp
2. qp ekivalen dengan pq
atau d.p.l. proposisi yang saling kontra positif mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekivalen).


Hukum-hukum proposisi yang berlaku :
1. Idempoten
pp = p
pp = p
2. Asosiatif
(pq)r = p(qr)
(pq)r = p(qr)
3. Komutatif
pq = qp
pq = qp
4. Distributif
p(qr) = (pq)(pr)
p(qr) = (pq)(pr)
5. Identitas
p f = p  = +
p t = t  = *
p f = f t = true
p t = p f = false
6. Komplemen
pp = t t = f
pp = f f = t
7. Involusi
p = p
8. De Morgan
(pq) = pq
(pq) = pq
Latihan Soal :
1. Tunjukkan kebenaran De Morgan’s dengan truth table !
2. Buat truth table dari pq, pq, pq, pq, pq, pq, qp, qp, pq, pq, qp, qp !.

Operasi-operasi Bit dan Logika
Definisi dari Bit :
- mempunyai dua kemungkinan nilai, yaitu : 0 dan 1.
- berasal dari kata binary digit, karena 0 dan 1 adalah digit yang digunakan dalam representasi binary pada bilangan.
- dapat digunakan untuk merepresentasikan nilai kebenaran, yaitu : benar dan salah, benar = 1 dan salah = 0.
Variabel Boolean  suatu variabel yang nilainya benar atau salah, akibatnya variabel Boolean dapat direpresentasikan menggunakan bit.
Tabel Operator Bit OR
 0 1
0 0 1
1 1 1

Tabel Operator Bit AND
 0 1
0 0 0
1 0 1

Tabel Operator XOR
 0 1
0 0 1
1 1 0

Bit String  rangkaian dari nol atau lebih bit-bit.
Panjang dari string  jumlah dari bit-bit dalam string.




Contoh :
01101 10110 mempunyai panjang bit string 10
11000 11101
11101 11111 bitwise OR
01000 10100 bitwise AND
10101 01011 bitwise XOR

Logic Gate (Gerbang Logika)
Aljabar Boolean sering digunakan sebagai model sirkuit dari peralatan elektronik, dimana setiap input dan outputnya merupakan anggota dari himpunan 0, 1.
Gates  elemen-elemen dasar dari sirkuit.
Setiap tipe dari gate mengimplementasikan suatu operasi Boolean.
Macam-macam tipe gate :
1. Inverter gate, yang menerima nilai dari suatu variabel Boolean sebagai input dan menghasilkan komplemen dari nilai ini sebagai output.
Input terhadap inverter gate ditunjukkan pada bagian kiri yang memasuki gate dan output ditunjukkan pada bagian kanan yang meninggalkan gate.
x x

2. OR gate
Input dari gate ini adalah nilai dari dua atau lebih variabel Boolean, sedangkan outputnya adalah jumlah Boolean dari nilai-nilainya. Input terhadap OR gate ditunjukkan pada bagian kiri yang memasuki gate dan output ditunjukkan pada bagian kanan yang meninggalkan gate.
x x+y
y
3. AND gate
Input dari gate ini adalah nilai dari dua atau lebih variabel Boolean, sedangkan outputnya adalah hasil kali Boolean dari nilai-nilainya. Input terhadap AND gate ditunjukkan pada bagian kiri yang memasuki gate dan output ditunjukkan pada bagian kanan yang meninggalkan gate.


x xy
y
4. XOR gate
Input dari gate ini adalah nilai dari dua atau lebih variabel Boolean, sedangkan outputnya adalah penjumlahan modulo 2 dari nilai-nilainya. Input terhadap XOR gate ditunjukkan pada bagian kiri yang memasuki gate dan output ditunjukkan pada bagian kanan yang meninggalkan gate.
x x  y
y